4.1 フーリエ級数展開

時間tに対して、周期$T_0$を有する関数x(t)は、次のフーリエ級数展開により三角関数の線形結合として表現できる。

$$x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\{a_ncos(n\omega_0t)+b_nsin(n\omega_0t)\}$$ (4.1)

ここで、$\omega_0$は周期$T_0$より求まる基本周波数$f_0$と次の関係をもつ基本角周波数である。

$$\omega_0=2\pi f_0=\frac{2\pi}{T_0}$$ (4.2)

式(4.1)より明らかなように、フーリエ級数展開では基本角周波数$\omega_0$の整数倍の角周波数$n\omega_0$を有する三角関数を適切な係数$a_n$、$b_n$を用いて重ね合わせることにより対象の周期関数を表現できる。ここに、係数$a_n$、$b_n$は

$$a_n=\frac{2}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^\frac{T_0}{2}x(t)cos(n\omega_0t)dt$$ (4.3)

$$b_n=\frac{2}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^\frac{T_0}{2}x(t)sin(n\omega_0t)dt$$ (4.4)

により求められる。